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Angelo (12.08.2019, 16:09)
Leggo, con una certa sorpresa, che i 5 postulati su cui si fonda la geometria euclidea sono, per così dire, un po' incompleti.
Esistono numerose affermazioni "ben formate" la cui verità o falsità non è dimostrabile a partire dai 5 postulati euclidei.
Ecco tre esempi
1) una retta che passa per il centro di una circonferenza interseca la circonferenza stessa in due punti
2) Siano A,B,C,D quattro punti su una linea. Se B è compreso tra A e C, e se C è compreso tra B e D, allora B è compreso tra A e D
3) Una retta che intersechi un lato di un triangolo e che non passi da nessuno dei vertici, deve necessariamente intersecare un altro lato del triangolo.
Altre due affermazioni, oltre queste, sono state enunciate da Hilbert, ed un'altra, recentemente, da un altro matematico tedesco di cui non ricordo ilnome.
Verrebbe da pensare che basti aggiungere questi nuovi postulati ai postulati originali per mettere le cose a posto.
Ma, mi chiedo, perchè non la loro negazione?
Posso, ad esempio, tranquillamente aggiungere ai 5 postulati :
"Una retta che passi per il centro di una circonferenza (di raggio non nullo) non necessariamente interseca la circonferenza in due punti"
Che succederebbe alla geometria?

Altra domanda: perchè a tutti noi le tre affermazioni che ho citato sembrano vere? Cosa ci induce a questa valutazione visto che le stesse non sono dimostrabili? Da dove deriva questa nostra sensazione di verità
ReBim
JTS (12.08.2019, 16:29)
On Monday, August 12, 2019 at 4:09:42 PM UTC+2, Angelo wrote:
[..]
> Posso, ad esempio, tranquillamente aggiungere ai 5 postulati :
> "Una retta che passi per il centro di una circonferenza (di raggio non nullo) non necessariamente interseca la circonferenza in due punti"
> Che succederebbe alla geometria?


Non so rispondere alla tua domanda ma forse potresti trovare una trattazione che ti soddisfi in un libro (che non ho letto ;-), ma su cui ho informazioni)da poco pubblicato da Alessandro Zampa e Franco Rupeni, dal titolo "Geometrie?" Per avere un'idea del contenuto del libro puoi leggere questa pagina web e in particolare il file linkato
JTS (12.08.2019, 20:13)
Am 12.08.2019 um 21:22 schrieb Angelo:

> No. I link che hai messo si riferiscono alla famosa impossibilità di derivare il quinto postulato di Euclide (quello delle parallele) dagli altri quattro. Senza il quinto postulato abbiamo una geometria preassoluta. Possiamo aggiungere ai primi 4 il postulato delle parallele, o la sua negazione. Nei due casi otteniamo diverse geometrie.


Ah scusa, sono stato superficiale.

> ora: consideriamo l'affermazione
> "una retta che passa per il centro di una circonferenza interseca la circonferenza stessa in due punti". Pare che questa affermazione non sia derivabile dai 5 postulati.
> Non so come si possa arrivare alla certezza che l'affermazione non sia derivabile, ma mi fido di Hilbert. :-)
> Posso quindi aggiungere questa affermazione ai 5 postulati (che diventa il sesto postulato).
> Oppure aggiungere la sua negazione.
> Penso che le due strade siano logicamente equivalenti.
> Mi chiedevo che succede alla geometria, postulando la negazione.


Ho fatto una piccola ricerca su Internet, forse queste due pagine di
StackExchange trattano uno dei casi che ti interessa:



Angelo (12.08.2019, 21:22)
Il giorno lunedì 12 agosto 2019 16:29:48 UTC+2, JTS ha scritto:
> On Monday, August 12, 2019 at 4:09:42 PM UTC+2, Angelo wrote:
> Non so rispondere alla tua domanda ma forse potresti trovare una trattazione che ti soddisfi in un libro (che non ho letto ;-), ma su cui ho informazioni)da poco pubblicato da Alessandro Zampa e Franco Rupeni, dal titolo "Geometrie?" Per avere un'idea del contenuto del libro puoi leggere questa pagina web e in particolare il file linkato


No. I link che hai messo si riferiscono alla famosa impossibilità di derivare il quinto postulato di Euclide (quello delle parallele) dagli altriquattro. Senza il quinto postulato abbiamo una geometria preassoluta. Possiamo aggiungere ai primi 4 il postulato delle parallele, o la sua negazione.. Nei due casi otteniamo diverse geometrie.

ora: consideriamo l'affermazione
"una retta che passa per il centro di una circonferenza interseca la circonferenza stessa in due punti". Pare che questa affermazione non sia derivabile dai 5 postulati.
Non so come si possa arrivare alla certezza che l'affermazione non sia derivabile, ma mi fido di Hilbert. :-)
Posso quindi aggiungere questa affermazione ai 5 postulati (che diventa il sesto postulato).
Oppure aggiungere la sua negazione.
Penso che le due strade siano logicamente equivalenti.
Mi chiedevo che succede alla geometria, postulando la negazione.
Angelo (12.08.2019, 21:27)
Il giorno lunedì 12 agosto 2019 16:09:42 UTC+2, Angelo ha scritto:
[..]
> Che succederebbe alla geometria?
> Altra domanda: perchè a tutti noi le tre affermazioni che ho citato sembrano vere? Cosa ci induce a questa valutazione visto che le stesse non sono dimostrabili? Da dove deriva questa nostra sensazione di verità
> ReBim


Aggiungo un altro enunciato che pare vero intuitivamente, ma che non èderivabile dai 5 postulati.
" non può darsi il caso che due circonferenze aventi lo stesso centro abbiano in comune un numero finito di punti"
radicale.001 (13.08.2019, 10:36)
Il giorno lunedì 12 agosto 2019 16:09:42 UTC+2, Angelo ha scritto:

> Leggo, con una certa sorpresa, che i 5 postulati su cui si
> fonda la geometria euclidea sono, per così dire, un po'
> incompleti.
> Esistono numerose affermazioni "ben formate" la cui verità
> o falsità non è dimostrabile a partire dai 5 postulati
> euclidei.


Sorprende sinceramente anche me

> Ecco tre esempi
> 1) una retta che passa per il centro di una circonferenza
> interseca la circonferenza stessa in due punti


> 2) Siano A,B,C,D quattro punti su una linea. Se B è compreso
> tra A e C, e se C è compreso tra B e D, allora B è compreso
> tra A e D
> 3) Una retta che intersechi un lato di un triangolo e che
> non passi da nessuno dei vertici, deve necessariamente intersecare
> un altro lato del triangolo.
> Altre due affermazioni, oltre queste, sono state enunciate da
> Hilbert, ed un'altra, recentemente, da un altro matematico
> tedesco di cui non ricordo il nome.


interessante

> Verrebbe da pensare che basti aggiungere questi nuovi postulati
> ai postulati originali per mettere le cose a posto.


esatto

> Ma, mi chiedo, perchè non la loro negazione?


ed in tal modo costruiresti una geometria molto diversa e strana.
Ma coerente fino a prova contraria.
Fattibilissimo

E qualcuno (non ricordo chi) ha detto che ciò che è coerente
esiste.
> Altra domanda: perchè a tutti noi le tre affermazioni che ho
> citato sembrano vere? Cosa ci induce a questa valutazione visto
> che le stesse non sono dimostrabili? Da dove deriva questa
> nostra sensazione di verità


molto IMHO (ma andiamo sulla psicologia ...) è la nostra esperienza
che ci induce a ritenerle come vere.
Elio Fabri (13.08.2019, 15:09)
Angelo ha scritto:
[..]
> da nessuno dei vertici, deve necessariamente intersecare un altro lato
> del triangolo.
> ...


JTS ha scritto:
> Non so rispondere alla tua domanda ma forse potresti trovare una
> trattazione che ti soddisfi in un libro (che non ho letto ;-), e in
> particolare il file linkato


Quel file l'ho trovato totalmente incomprensibile.

Ti do il mio contributo, che vale quel che vale: non sono uno storico
della matematica e non ho una conoscenza precisa degli "Elementi".
Però qualcosa ne so.

Non sono neppure un matematico, ma ho qualche conoscenza anche dei
problemi generali che poni.
"Qualche", quindi non metterei neppure un mignolo sul fuoco e mi
auguro che qualcuno che ne sa di più intervenga a chiarire meglio.
Però un po' di luce penso di poterla fare.

Per cominciare con Euclide: parlare dei "5 postulati" è già una
presentazione semplicistica. E' vero (credo) che Euclide enuncia
esplicitamente quelli come postulati, ma di fatto nel seguito,
con altri termini, ne usa pure altri.
Per es. le "nozioni comuni" ("koinai ennoiai", se ricordo bene) sulla
congruenza.
Inoltre gli enunciati di Euclide sono ben lontani dall'avere la forma
precisa che oggi si richiede agli assiomi di un sistema
ipotetico-deduttivo.
Bisogna quindi interpretarli o meglio riformularli.
In particolare Euclide manca completamente di enunciare quelli che
oggi si chiamano "assiomi di ordine" e "assiomi di continuità".
(Gli esempi che dai richiedono appunto, per la dimostrazione, anche
questi assiomi. Almeno così mi pare a occhio.)

Che il sistema di Euclide fosse largamente incompleto è noto da tempo,
almeno da oltre un secolo.
Tra fine '800 e inizi '900 c'è stato molto lavoro in proposito. Ne ho
qualche nozione ma mi guardo bene dal tentare un sommario storico.
Di questo lavoro la parte più conosciuta è l'assiomatica di Hilbert,
che però non è facile definire bene, perché nel corso del tempo lo
stesso Hilbert la modificò più volte.
Comunque, restringendo gli assiomi di Hilbert alla sola geometria
piana, ne conto 15.

[..]
> Oppure aggiungere la sua negazione.
> Penso che le due strade siano logicamente equivalenti.
> Mi chiedevo che succede alla geometria, postulando la negazione.

Questione marginale: che cosa intenderesti per "negazione"?
A stretto rigore sarebbe questo:
"nessuna retta che passa per il centro di una circonferenza interseca
la circonferenza stessa esattamente in due punti".

Saranno più di due, o meno di due?
Come enunceresti esattamente la negazione?
Non so se sai per es. che negando il postulato delle parallele,
potresti dire che esistono due o più rette per P che non hanno punti
in comune con r, oppure che tutte le rette per P intersecano r.
Tuttavia la seconda eventualità è esclusa da altri assiomi, tanto che
il post. delle parallele può essere enunciato così:
"Se P è un punto esterno alla retta r, esiste *al più una* retta per P
che non interseca r."

Quanto alla dimostrazione che la proposizione è indip. dagli assiomi
di Euclide, prima di tutto c'è da capire che cosa s'intende per
assiomi di Euclide, ma su questo ho già detto.
Usando invece gli assiomi di Hilbert, non ho mai visto la prova in
dettaglio, ma si dovrebbe procedere cone segue.
1 - Scegliere una parte degli assiomi, penso escludendo i gruppi III e
V (v. articolo su wiki inglese).
2 - Costruire un modello in cui tutti gli altri assiomi sono validi,
ma non quelli.
3 - Mostrare che in questo modello esiste un controesempio, ossia una
crf e una retta per il centro che non hanno punti comuni.

Il tuo terzo esempio si esamina in modo più semplice: la proposizione
che citi è nota come "assioma di Pasch" ed è l'assioma II.4 di
Hilbert.
Quindi occorre solo dimostrare l'indip. dell'assioma di Pasch dagli
altri di I, II, IV.
La tecnica sarebbe la solita: trovare un modello in cui I, II (escluso
II.4) e IV valgono, ma II.4 no.

In genere i modelli di cui parlo si presentano come opportuni
strutture numeriche, che non siano R o R^2, dove va tutto liscio.
Di più non so dire.
JTS (13.08.2019, 18:20)
On 13.08.19 15:09, Elio Fabri wrote:

> Il tuo terzo esempio si esamina in modo più semplice: la proposizione
> che citi è nota come "assioma di Pasch" ed è l'assioma II.4 di
> Hilbert.
> Quindi occorre solo dimostrare l'indip. dell'assioma di Pasch dagli
> altri di I, II, IV.
> La tecnica sarebbe la solita: trovare un modello in cui I, II (escluso
> II.4) e IV valgono, ma II.4 no.
> In genere i modelli di cui parlo si presentano come opportuni
> strutture numeriche, che non siano R o R^2, dove va tutto liscio.
> Di più non so dire.


Nei link a StackExchange che ho dato nel mio secondo messaggio c'e'
proprio una descrizione di questi modelli.
Elio Fabri (14.08.2019, 12:04)
JTS ha scritto:
> Nei link a StackExchange che ho dato nel mio secondo messaggio c'e'
> proprio una descrizione di questi modelli.

E' vero, non li avevo guardati.
Però sono parecchio astrusi, almeno per il sottoscritto.

Io sapevo dell'analogo problema per il teorema di Desargues in 2D, che
si dimostra non valido in un modello di piano proiettivo basato non su
un campo (commutativo) ma su un anello con divisione non commutativo.
La stessa cosa vale anche per il teorema di Pappo.
Però leggo che la relazione tra i due teoremi è non poco incasinata :-)
Angelo (14.08.2019, 23:07)
Il giorno martedì 13 agosto 2019 15:12:38 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> Per cominciare con Euclide: parlare dei "5 postulati" è già una
> presentazione semplicistica. E' vero (credo) che Euclide enuncia
> esplicitamente quelli come postulati, ma di fatto nel seguito,
> con altri termini, ne usa pure altri.
> Per es. le "nozioni comuni" ("koinai ennoiai", se ricordo bene) sulla
> congruenza.
> Inoltre gli enunciati di Euclide sono ben lontani dall'avere la forma
> precisa che oggi si richiede agli assiomi di un sistema
> ipotetico-deduttivo.
> Bisogna quindi interpretarli o meglio riformularli.


Non sapevo che i postulati di Euclide si possano considerare "grossolani" rispetto a ciò che modernamente si richiede ad un sistema formale.
Ora qualcosa mi è più chiaro

> Questione marginale: che cosa intenderesti per "negazione"?
> A stretto rigore sarebbe questo:
> "nessuna retta che passa per il centro di una circonferenza interseca
> la circonferenza stessa esattamente in due punti".
> Saranno più di due, o meno di due?


Intendevo la negazione logica.
La negazione di "ogni retta che passa per il centro di una circonferenza interseca la circonferenza in due punti" è "non è vero che ogni retta che passa per il centro di una circonferenza interseca la circonferenza in due punti"

[..]
> ma non quelli.
> 3 - Mostrare che in questo modello esiste un controesempio, ossia una
> crf e una retta per il centro che non hanno punti comuni.


Mi confonde l'uso della parola "modello" in logica.
Nel linguaggio comune, così pure come in quello scientifico, la parolamodello ha due distinti e opposti significati; entrambi hanno a che vederecon una rappresentazione e con ciò che è rappresentato. Il problema è che la parola modello è talvolta usata per indicare il primo termine della relazione (la rappresentazione), talvolta il secondo (l'oggetto rappresentato). Si dice che il manufatto a scala ridotta che rappresenta una barca o un aereo è un modello della barca o dell'aereo.
Mi pare che in logica matematica, al contrario, la rappresentazione è chiamata sistema formale e ciò che è rappresentato è chiamato modello. Questo uso è contrario a quello scientifico, ma coincide con quello de i pittori, che parlano di modello per intendere ciò che viene rappresentato, cioè l'oggetto del dipinto (che ne è quindi la rappresentazione).

Potrei, ad esempio, farmi un modello di retta euclidea in molti modi.
Potrei pensare alla retta come il luogo dei punti del piano per cui è minima la distanza tra due qualsiasi punti ( non so se regge; ho inventato ora :))
Oppure potrei dire che una retta è il luogo dei punti di una spirale di Archimede.
etc.
E' questo che tu chiami modelli?

ReBim
JTS (14.08.2019, 23:39)
Am 14.08.2019 um 23:07 schrieb Angelo:

> Mi confonde l'uso della parola "modello" in logica.
> Nel linguaggio comune, così pure come in quello scientifico, la parola modello ha due distinti e opposti significati; entrambi hanno a che vedere con una rappresentazione e con ciò che è rappresentato. Il problema è che la parola modello è talvolta usata per indicare il primo termine della relazione (la rappresentazione), talvolta il secondo (l'oggetto rappresentato). Si dice che il manufatto a scala ridotta che rappresenta una barca o un aereo è un modello della barca o dell'aereo.
> Mi pare che in logica matematica, al contrario, la rappresentazione è chiamata sistema formale e ciò che è rappresentato è chiamato modello. Questo uso è contrario a quello scientifico, ma coincide con quello de i pittori, che parlano di modello per intendere ciò che viene rappresentato, cioè l'oggetto del dipinto (che ne è quindi la rappresentazione).
> Potrei, ad esempio, farmi un modello di retta euclidea in molti modi.
> Potrei pensare alla retta come il luogo dei punti del piano per cui è minima la distanza tra due qualsiasi punti ( non so se regge; ho inventato ora :))
> Oppure potrei dire che una retta è il luogo dei punti di una spirale di Archimede.
> etc.
> E' questo che tu chiami modelli?
> ReBim


Rispondo io al posto di Elio: prova a dare un'occhiata ai post di El
Filibustero in questo thread, in particolare al suo primo post



(link diretto al post di ElF)
Elio Fabri (15.08.2019, 16:59)
Angelo ha scritto:
> Mi confonde l'uso della parola "modello" in logica.

Chissà perché usi due nick diversi qui e in isf...
Mica lo capite che per l'interlocutore può essere una difficoltà.

Comunque io ti rispondo in modo un po' diverso, nei limiti in cui ho
capito queste cose...
Ti faccio un esempio, proprio con la geometria euclidea.
Prendi gli assiomi di Hilbert e chiediti se sono compatibili.
Ossia se non ci sono contraddizioni.
La risposta tipica è costruirne un modello dentro un altro sistema
assiomatico (dire "più concreto" o "più astratto" tra sistemi
asiomatici non ha senso).
Ossia interpretare gli enti primitivi o definiti nell'assiomatica di
Hilbert nel secondo sistema e verificare che la traduzione
(rappresentazione) degli assiomi consiste di teoremi.

La procedura standard si basa sui reali come modello della retta
euclidea, R^2 come modello del piano.
Più esattamente, non R^2 ma il piano euclideo E^2, che differisce da
R^2 per non avere un punto privilegiato (l'origine).
Se non sai come si fa a definire E^2, devi cercartelo perché non posso
stare a spiegarlo, altrimenti non arrivo mai al dunque.

Se nel modello "numerico" del piano euclideo gli assiomi di Hilbert
sono teoremi, ciò prova che non sono contraddittori.
In realtà bisogna assumere che gli assiomi del sistema in cui il
modello è stato costruito non siano contraddittori essi stessi. Ma
questo nel nostro caso è più facile verificarlo, perché la retta reale
si costruisce per successive estensioni; N --> Z --> Q --> R.

Parentesi didattica.
Questo spiega il fenomeno che ha preso il nome di "aritmetizzazione
della geometria", verificatosi nel corso del secolo passato.

Il processo è ormai prevalente a livello universitario, ma è stato
tentato anche a livello secondario.
Ad es. da Prodi, che usava un'assiomatica "mista" in gran parte basata
sulla retta reale.
Io sono abbastanza vecchio per aver invece avuto anche all'università
un insegnamento di geometria del tutto svincolato dal modello
numerico, pur se a rigore ben poco rigoroso.
Ai miei tempi a Roma il corso di Geometria tenuto da Conforto si
basava su concetti molto intuitivi.
Ti faccio un esempio: la retta tangente a una curva in un punto veniva
definita come quella che ha in comune con la curva almeno due punti
"infinitamente vicini". Una tangente di flesso ne aveva tre...

(Parentesi: i matematici hanno sempre usato, per le materie biennali,
far seguire gli studenti da uno stesso prof per i due anni. Quindi gli
studenti trovavano il corso di geometria di Conforto o quello di
Bompiani ad anni alterni. Invece i fisici tenevano uno il corso di
Fisica I e l'altro quello di Fisica II.)
Il parallelo corso di Bompiani era più aritmetizzato, quindi più
"moderno".

Torniamo al punto.
Il metodo del modello come te l'ho descritto è piuttosto diretto per
quanto riguarda la non contraddittorietà degli assiomi. Molto meno per
l'indipendenza.
L'assioma delle parallele vale nel modello E^2, ma questo non dice
niente sull'indipendenza dagli altri assiomi.
Occorre invece trovare un modello in cui non vale, cme avevo già detto
nel post precedente.
Nel link che ha dato JTS c'è un post di Giorgio Pastore dove accenna
ad alcuni di questi modelli "euclidei" per la geometria iperbolica.
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM (16.08.2019, 10:08)
Il giorno mercoledì 14 agosto 2019 23:39:26 UTC+2, JTS ha scritto:

> Rispondo io al posto di Elio: prova a dare un'occhiata ai post di El
> Filibustero in questo thread, in particolare al suo primo post
>
> (link diretto al post di ElF)
>


Anche io provo a dare il mio contributo per quello che vale.
Anzi, diciamo meglio, più che un contributo è una domanda.
Nel thread segnalato da JTS, cone ha fatto notare Elio Fabri, in un post diGiorgio Pastore
(link diretto:
),
si fa riferimento ai modelli euclidei di geometrie non euclidee, es.
per la geometria iperbolica
? disco di Poincare',
? piano di Klein,
? iperboloide (quest'ultimo credo che funzioni solo localmente, come la pseudosfera).

Bene: io credo e vorrei un vostro parere in merito, che un modello euclideodi geometria in cui valgano

i 5 postulati di Euclide
+
"Una retta che passi per il centro di una circonferenza (di raggio non nullo) _non necessariamente_ interseca la circonferenza in due punti"

possa essere implementato, almeno in corrispondenza dell'origine, con il seguente sottoinsieme di R³:

quello corrispondente alla superficie S, luogo geometrico dei punti che soddisfano l'equazione

z² = (x² + y²)²

Tale superficie corrisponde all'unione di due paraboloidi di rotazione intorno all'asse z, tangenti tra loro nell'origine.

Adesso, consideriamo la circonferenza

x² + y² = 1
z = -1

la quale è inclusa in S.

Inoltre, consideriamo l'insieme delle parabole aventi asse di simmetria conicidente con l'asse z e incluse nel paraboloide superiore (z>0) che componeS.

Tali parabole possono rappresentare delle "rette" in questo modello e passano tutte per l'origine che rappresenta il "centro" della suddetta circonferenza in S. Quindi, in questo punto, abbiamo infinite "rette" passanti per il cenntro della circonferenza che però non la intersecano in alcun punto.

Ha senso, secondo voi, un modello simile?

Certo, ora scusandomi per il linguaggio poco rigoroso, l'origine, in cui sono tangenti i paraboloidi che compongono S, in qualche modo, dà luogo ad una sorta di "irregolarità" che non saprei come difinire. Evidentemente, deve corrispondere al venir meno degli assiomi aggiuntivi citati da Elio Fabri.

Ciao.
JTS (16.08.2019, 11:57)
Am 16.08.2019 um 10:08 schrieb Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM:
[..]
> quello corrispondente alla superficie S, luogo geometrico dei punti che soddisfano l'equazione
> z² = (x² + y²)²
> Tale superficie corrisponde all'unione di due paraboloidi di rotazione intorno all'asse z, tangenti tra loro nell'origine.


(cut)

> Ha senso, secondo voi, un modello simile?
> Certo, ora scusandomi per il linguaggio poco rigoroso, l'origine, in cui sono tangenti i paraboloidi che compongono S, in qualche modo, dà luogo ad una sorta di "irregolarità" che non saprei come difinire. Evidentemente, deve corrispondere al venir meno degli assiomi aggiuntivi citati da Elio Fabri.
> Ciao.


E' interessante ma ci devo pensare, guardando gli assiomi uno per uno.
Avevo capito che sono necessarie cose completamente diverse per un
modello che violi "una retta che passa per il centro di una
circonferenza interseca la circonferenza stessa in due punti" (vedi
esempi di StackExchange per l'assioma di Pasch).
Giorgio Pastore (16.08.2019, 12:53)
Il 16/08/19 10:08, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM ha scritto:
.....
> Bene: io credo e vorrei un vostro parere in merito, che un modello euclideo di geometria in cui valgano
> i 5 postulati di Euclide
> +
> "Una retta che passi per il centro di una circonferenza (di raggio non nullo) _non necessariamente_ interseca la circonferenza in due punti"
> possa essere implementato, almeno in corrispondenza dell'origine, con il seguente sottoinsieme di R³:
> quello corrispondente alla superficie S, luogo geometrico dei punti che soddisfano l'equazione
> z² = (x² + y²)² .....
> Tali parabole possono rappresentare delle "rette" in questo modello e passano tutte per l'origine che rappresenta il "centro" della suddetta circonferenza in S. Quindi, in questo punto, abbiamo infinite "rette" passanti per il cenntro della circonferenza che però non la intersecano in alcun punto.
> Ha senso, secondo voi, un modello simile? .....


Non vedo il modello: cosa sono le rette? Attenzione che devi garantire
che la definizione deve garantire che, dati due punti ci sia una e una
sola retta per quei due punti. Le parabole sono un po' poco; se prendi
due punti sui due paraboloidi non puoi avere una parabola. Stai pensando
alla geometria sulla superficie del doppio paraboloide?

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